Ce este distribuția exponențială?
Distribuția exponențială se referă la distribuția de probabilitate continuă și constantă care este de fapt utilizată pentru a modela perioada de timp pe care o persoană trebuie să o aștepte înainte ca evenimentul dat să se întâmple și această distribuție este o contrapartidă continuă a unei distribuții geometrice care este în schimb distinctă.
Formula de distribuție exponențială
O variabilă continuă aleatorie x (cu parametrul de scară λ> 0) se spune că are o distribuție exponențială numai dacă funcția sa de densitate de probabilitate poate fi exprimată prin înmulțirea parametrului de scală cu funcția exponențială a parametrului de scală minus și x pentru toate x mai mari decât sau egal cu zero, altfel funcția densității probabilității este egală cu zero.
Matematic, funcția densității probabilității este reprezentată ca,
astfel încât media este egală cu 1 / λ și varianța este egală cu 1 / λ2.
Calculul distribuției exponențiale (pas cu pas)
- Pasul 1: În primul rând, încercați să vă dați seama dacă evenimentul în cauză este continuu și independent în natură și are loc la o rată aproximativ constantă. Orice eveniment practic se va asigura că variabila este mai mare sau egală cu zero.
- Pasul 2: Apoi, determinați valoarea parametrului scalei, care este invariabil reciprocă a mediei.
- λ = 1 / medie
- Pasul 3: Apoi, înmulțiți parametrul de scară λ și variabila x și apoi calculați funcția exponențială a produsului înmulțită cu minus unul, adică e– λ * x.
- Pasul 4: În cele din urmă, funcția densității probabilității este calculată prin înmulțirea funcției exponențiale și a parametrului scalei.
Dacă formula de mai sus este valabilă pentru toate x mai mari sau egale cu zero, atunci x este o distribuție exponențială.
Exemplu
Puteți descărca acest șablon Excel de distribuție exponențială aici - Șablon Excel de distribuție exponențială
Să luăm exemplul, x care este cantitatea de timp necesară (în minute) de către un peon de birou pentru a livra de la biroul managerului la biroul funcționarului. Se presupune că funcția timpului luat are o distribuție exponențială cu durata medie de timp egală cu cinci minute.
Având în vedere că x este o variabilă continuă aleatorie, deoarece timpul este măsurat.
Media, μ = 5 minute
Prin urmare, parametrul scalei, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20
Prin urmare, funcția de probabilitate de distribuție exponențială poate fi derivată ca,
f (x) = 0,20 e– 0,20 * x
Acum, calculați funcția de probabilitate la diferite valori ale lui x pentru a obține curba de distribuție.
Pentru x = 0
funcția de probabilitate de distribuție exponențială pentru x = 0 va fi,
În mod similar, calculați funcția de probabilitate a distribuției exponențiale pentru x = 1 până la x = 30
- Pentru x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
- Pentru x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
- Pentru x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
- Pentru x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
- Pentru x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
- Pentru x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
- Pentru x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
- Pentru x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
- Pentru x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
- Pentru x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
- Pentru x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
- Pentru x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
- Pentru x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
- Pentru x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
- Pentru x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
- Pentru x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
- Pentru x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
- Pentru x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
- Pentru x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
- Pentru x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
- Pentru x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
- Pentru x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
- Pentru x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
- Pentru x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
- Pentru x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
- Pentru x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
- Pentru x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
- Pentru x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
- Pentru x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
- Pentru x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
- Pentru x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000
Am derivat curba de distribuție după cum urmează,
Relevanță și utilizare
Deși presupunerea unei rate constante este foarte rar satisfăcută în scenariile din lumea reală, dacă intervalul de timp este selectat în așa fel încât rata să fie aproximativ constantă, atunci distribuția exponențială poate fi utilizată ca un model aproximativ bun. Are multe alte aplicații în domeniul fizicii, hidrologiei etc.
În statistică și teoria probabilității, expresia distribuției exponențiale se referă la distribuția probabilității care este utilizată pentru a defini timpul dintre două evenimente succesive care apar independent și continuu la o rată medie constantă. Este una dintre distribuțiile continue utilizate pe scară largă și este strict legată de distribuția Poisson în excel.